初中幾何中，三角形內(nèi)接四邊形是經(jīng)常考到的題型，一般是內(nèi)接平行四邊形、矩形、正方形等，常規(guī)思路是把要求的邊長(zhǎng)x設(shè)出來(lái)，利用相似三角形，構(gòu)造關(guān)于x的方程，從而求出x的值。

例題：

如圖，△ABC內(nèi)接正方形DEFG，△AGF、△FEC、△BDG的面積分別是1、1、3，則正方形DEFG的邊長(zhǎng)為 _

(視頻講解在文末)

分析：按照常規(guī)思路，把正方形邊長(zhǎng)設(shè)為x，利用△AGF∽△ABC，高之比等于邊長(zhǎng)之比，構(gòu)建關(guān)于x的方程解出x的值。

所以，

GF=x

BD=6/x

DE=x

EC=2/x

現(xiàn)在已經(jīng)得到GF和BC的長(zhǎng)，還需要另外一組對(duì)應(yīng)邊或者對(duì)應(yīng)高之比。

題目中，△AGF的面積=△EFC的面積，GF=EF，可以得到△AGF中GF邊上的高等于EC=2/x 。

那就可以利用△AGF∽△ABC，高之比等于GF與BC之比，構(gòu)建關(guān)于x的方程求解。

現(xiàn)在講解一下秒殺方法，對(duì)于三角形內(nèi)接平行四邊形問(wèn)題，平行線分割成的三部分面積有一個(gè)等量關(guān)系。

感興趣的同學(xué)思考下如何證明!

(提示：相似三角形面積之比等于相似比的平方)

這個(gè)題就可以采用上面介紹的方法秒殺。

過(guò)點(diǎn)G做GH平行AC，交BC邊于點(diǎn)H

易證△GDH≌△FEC，

則△BGH的面積為1+3=4

平行四邊形GHCF的面積=2×√(1×4)=4

正方形GDEF的面積=平行四邊形GHCF的面積=4

所以正方形邊長(zhǎng)為2

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